Bivariate Series Composition: A(w,z)=∑ai,jwizj, B(w,z)=∑bi,jwizj, C(w,z)=∑ci,jwizj = A(w,B(w+d,z))

ci,ji
0123
j00000
1((a0,1b0,1) + (a0,1b1,1)d + (a0,1b2,1)d2 + (a0,1b3,1)d3 + O(d4))((a0,1b1,1 + a1,1b0,1) + (2a0,1b2,1 + a1,1b1,1)d + (3a0,1b3,1 + a1,1b2,1)d2 + (a1,1b3,1)d3 + O(d4))((a0,1b2,1 + a1,1b1,1 + a2,1b0,1) + (3a0,1b3,1 + 2a1,1b2,1 + a2,1b1,1)d + (3a1,1b3,1 + a2,1b2,1)d2 + (a2,1b3,1)d3 + O(d4))((a0,1b3,1 + a1,1b2,1 + a2,1b1,1 + a3,1b0,1) + (3a1,1b3,1 + 2a2,1b2,1 + a3,1b1,1)d + (3a2,1b3,1 + a3,1b2,1)d2 + (a3,1b3,1)d3 + O(d4))
2((a0,1b0,2 + a0,2b0,12) + (a0,1b1,2 + 2a0,2b0,1b1,1)d + (a0,1b2,2 + 2a0,2b0,1b2,1 + a0,2b1,12)d2 + (a0,1b3,2 + 2a0,2b0,1b3,1 + 2a0,2b1,1b2,1)d3 + O(d4))((a0,1b1,2 + 2a0,2b0,1b1,1 + a1,1b0,2 + a1,2b0,12) + (2a0,1b2,2 + 4a0,2b0,1b2,1 + 2a0,2b1,12 + a1,1b1,2 + 2a1,2b0,1b1,1)d + (3a0,1b3,2 + 6a0,2b0,1b3,1 + 6a0,2b1,1b2,1 + a1,1b2,2 + 2a1,2b0,1b2,1 + a1,2b1,12)d2 + (8a0,2b1,1b3,1 + 4a0,2b2,12 + a1,1b3,2 + 2a1,2b0,1b3,1 + 2a1,2b1,1b2,1)d3 + O(d4))((a0,1b2,2 + 2a0,2b0,1b2,1 + a0,2b1,12 + a1,1b1,2 + 2a1,2b0,1b1,1 + a2,1b0,2 + a2,2b0,12) + (3a0,1b3,2 + 6a0,2b0,1b3,1 + 6a0,2b1,1b2,1 + 2a1,1b2,2 + 4a1,2b0,1b2,1 + 2a1,2b1,12 + a2,1b1,2 + 2a2,2b0,1b1,1)d + (12a0,2b1,1b3,1 + 6a0,2b2,12 + 3a1,1b3,2 + 6a1,2b0,1b3,1 + 6a1,2b1,1b2,1 + a2,1b2,2 + 2a2,2b0,1b2,1 + a2,2b1,12)d2 + (20a0,2b2,1b3,1 + 8a1,2b1,1b3,1 + 4a1,2b2,12 + a2,1b3,2 + 2a2,2b0,1b3,1 + 2a2,2b1,1b2,1)d3 + O(d4))((a0,1b3,2 + 2a0,2b0,1b3,1 + 2a0,2b1,1b2,1 + a1,1b2,2 + 2a1,2b0,1b2,1 + a1,2b1,12 + a2,1b1,2 + 2a2,2b0,1b1,1 + a3,1b0,2 + a3,2b0,12) + (8a0,2b1,1b3,1 + 4a0,2b2,12 + 3a1,1b3,2 + 6a1,2b0,1b3,1 + 6a1,2b1,1b2,1 + 2a2,1b2,2 + 4a2,2b0,1b2,1 + 2a2,2b1,12 + a3,1b1,2 + 2a3,2b0,1b1,1)d + (20a0,2b2,1b3,1 + 12a1,2b1,1b3,1 + 6a1,2b2,12 + 3a2,1b3,2 + 6a2,2b0,1b3,1 + 6a2,2b1,1b2,1 + a3,1b2,2 + 2a3,2b0,1b2,1 + a3,2b1,12)d2 + (20a0,2b3,12 + 20a1,2b2,1b3,1 + 8a2,2b1,1b3,1 + 4a2,2b2,12 + a3,1b3,2 + 2a3,2b0,1b3,1 + 2a3,2b1,1b2,1)d3 + O(d4))
3((a0,1b0,3 + 2a0,2b0,1b0,2 + a0,3b0,13) + (a0,1b1,3 + 2a0,2b0,1b1,2 + 2a0,2b0,2b1,1 + 3a0,3b0,12b1,1)d + (a0,1b2,3 + 2a0,2b0,1b2,2 + 2a0,2b0,2b2,1 + 2a0,2b1,1b1,2 + 3a0,3b0,12b2,1 + 3a0,3b0,1b1,12)d2 + (a0,1b3,3 + 2a0,2b0,1b3,2 + 2a0,2b0,2b3,1 + 2a0,2b1,1b2,2 + 2a0,2b1,2b2,1 + 3a0,3b0,12b3,1 + 6a0,3b0,1b1,1b2,1 + a0,3b1,13)d3 + O(d4))((a0,1b1,3 + 2a0,2b0,1b1,2 + 2a0,2b0,2b1,1 + 3a0,3b0,12b1,1 + a1,1b0,3 + 2a1,2b0,1b0,2 + a1,3b0,13) + (2a0,1b2,3 + 4a0,2b0,1b2,2 + 4a0,2b0,2b2,1 + 4a0,2b1,1b1,2 + 6a0,3b0,12b2,1 + 6a0,3b0,1b1,12 + a1,1b1,3 + 2a1,2b0,1b1,2 + 2a1,2b0,2b1,1 + 3a1,3b0,12b1,1)d + (3a0,1b3,3 + 6a0,2b0,1b3,2 + 6a0,2b0,2b3,1 + 6a0,2b1,1b2,2 + 6a0,2b1,2b2,1 + 9a0,3b0,12b3,1 + 18a0,3b0,1b1,1b2,1 + 3a0,3b1,13 + a1,1b2,3 + 2a1,2b0,1b2,2 + 2a1,2b0,2b2,1 + 2a1,2b1,1b1,2 + 3a1,3b0,12b2,1 + 3a1,3b0,1b1,12)d2 + (8a0,2b1,1b3,2 + 8a0,2b1,2b3,1 + 8a0,2b2,1b2,2 + 24a0,3b0,1b1,1b3,1 + 12a0,3b0,1b2,12 + 12a0,3b1,12b2,1 + a1,1b3,3 + 2a1,2b0,1b3,2 + 2a1,2b0,2b3,1 + 2a1,2b1,1b2,2 + 2a1,2b1,2b2,1 + 3a1,3b0,12b3,1 + 6a1,3b0,1b1,1b2,1 + a1,3b1,13)d3 + O(d4))((a0,1b2,3 + 2a0,2b0,1b2,2 + 2a0,2b0,2b2,1 + 2a0,2b1,1b1,2 + 3a0,3b0,12b2,1 + 3a0,3b0,1b1,12 + a1,1b1,3 + 2a1,2b0,1b1,2 + 2a1,2b0,2b1,1 + 3a1,3b0,12b1,1 + a2,1b0,3 + 2a2,2b0,1b0,2 + a2,3b0,13) + (3a0,1b3,3 + 6a0,2b0,1b3,2 + 6a0,2b0,2b3,1 + 6a0,2b1,1b2,2 + 6a0,2b1,2b2,1 + 9a0,3b0,12b3,1 + 18a0,3b0,1b1,1b2,1 + 3a0,3b1,13 + 2a1,1b2,3 + 4a1,2b0,1b2,2 + 4a1,2b0,2b2,1 + 4a1,2b1,1b1,2 + 6a1,3b0,12b2,1 + 6a1,3b0,1b1,12 + a2,1b1,3 + 2a2,2b0,1b1,2 + 2a2,2b0,2b1,1 + 3a2,3b0,12b1,1)d + (12a0,2b1,1b3,2 + 12a0,2b1,2b3,1 + 12a0,2b2,1b2,2 + 36a0,3b0,1b1,1b3,1 + 18a0,3b0,1b2,12 + 18a0,3b1,12b2,1 + 3a1,1b3,3 + 6a1,2b0,1b3,2 + 6a1,2b0,2b3,1 + 6a1,2b1,1b2,2 + 6a1,2b1,2b2,1 + 9a1,3b0,12b3,1 + 18a1,3b0,1b1,1b2,1 + 3a1,3b1,13 + a2,1b2,3 + 2a2,2b0,1b2,2 + 2a2,2b0,2b2,1 + 2a2,2b1,1b1,2 + 3a2,3b0,12b2,1 + 3a2,3b0,1b1,12)d2 + (20a0,2b2,1b3,2 + 20a0,2b2,2b3,1 + 60a0,3b0,1b2,1b3,1 + 30a0,3b1,12b3,1 + 30a0,3b1,1b2,12 + 8a1,2b1,1b3,2 + 8a1,2b1,2b3,1 + 8a1,2b2,1b2,2 + 24a1,3b0,1b1,1b3,1 + 12a1,3b0,1b2,12 + 12a1,3b1,12b2,1 + a2,1b3,3 + 2a2,2b0,1b3,2 + 2a2,2b0,2b3,1 + 2a2,2b1,1b2,2 + 2a2,2b1,2b2,1 + 3a2,3b0,12b3,1 + 6a2,3b0,1b1,1b2,1 + a2,3b1,13)d3 + O(d4))((a0,1b3,3 + 2a0,2b0,1b3,2 + 2a0,2b0,2b3,1 + 2a0,2b1,1b2,2 + 2a0,2b1,2b2,1 + 3a0,3b0,12b3,1 + 6a0,3b0,1b1,1b2,1 + a0,3b1,13 + a1,1b2,3 + 2a1,2b0,1b2,2 + 2a1,2b0,2b2,1 + 2a1,2b1,1b1,2 + 3a1,3b0,12b2,1 + 3a1,3b0,1b1,12 + a2,1b1,3 + 2a2,2b0,1b1,2 + 2a2,2b0,2b1,1 + 3a2,3b0,12b1,1 + a3,1b0,3 + 2a3,2b0,1b0,2 + a3,3b0,13) + (8a0,2b1,1b3,2 + 8a0,2b1,2b3,1 + 8a0,2b2,1b2,2 + 24a0,3b0,1b1,1b3,1 + 12a0,3b0,1b2,12 + 12a0,3b1,12b2,1 + 3a1,1b3,3 + 6a1,2b0,1b3,2 + 6a1,2b0,2b3,1 + 6a1,2b1,1b2,2 + 6a1,2b1,2b2,1 + 9a1,3b0,12b3,1 + 18a1,3b0,1b1,1b2,1 + 3a1,3b1,13 + 2a2,1b2,3 + 4a2,2b0,1b2,2 + 4a2,2b0,2b2,1 + 4a2,2b1,1b1,2 + 6a2,3b0,12b2,1 + 6a2,3b0,1b1,12 + a3,1b1,3 + 2a3,2b0,1b1,2 + 2a3,2b0,2b1,1 + 3a3,3b0,12b1,1)d + (20a0,2b2,1b3,2 + 20a0,2b2,2b3,1 + 60a0,3b0,1b2,1b3,1 + 30a0,3b1,12b3,1 + 30a0,3b1,1b2,12 + 12a1,2b1,1b3,2 + 12a1,2b1,2b3,1 + 12a1,2b2,1b2,2 + 36a1,3b0,1b1,1b3,1 + 18a1,3b0,1b2,12 + 18a1,3b1,12b2,1 + 3a2,1b3,3 + 6a2,2b0,1b3,2 + 6a2,2b0,2b3,1 + 6a2,2b1,1b2,2 + 6a2,2b1,2b2,1 + 9a2,3b0,12b3,1 + 18a2,3b0,1b1,1b2,1 + 3a2,3b1,13 + a3,1b2,3 + 2a3,2b0,1b2,2 + 2a3,2b0,2b2,1 + 2a3,2b1,1b1,2 + 3a3,3b0,12b2,1 + 3a3,3b0,1b1,12)d2 + (40a0,2b3,1b3,2 + 60a0,3b0,1b3,12 + 120a0,3b1,1b2,1b3,1 + 20a0,3b2,13 + 20a1,2b2,1b3,2 + 20a1,2b2,2b3,1 + 60a1,3b0,1b2,1b3,1 + 30a1,3b1,12b3,1 + 30a1,3b1,1b2,12 + 8a2,2b1,1b3,2 + 8a2,2b1,2b3,1 + 8a2,2b2,1b2,2 + 24a2,3b0,1b1,1b3,1 + 12a2,3b0,1b2,12 + 12a2,3b1,12b2,1 + a3,1b3,3 + 2a3,2b0,1b3,2 + 2a3,2b0,2b3,1 + 2a3,2b1,1b2,2 + 2a3,2b1,2b2,1 + 3a3,3b0,12b3,1 + 6a3,3b0,1b1,1b2,1 + a3,3b1,13)d3 + O(d4))